1. Отрезок AM перпендикулярен плоскости квадрата ABCD, ∠ABM = 30°. Найдите тангенс угла ACM.

Так как AM перпендикулярен плоскости квадрата, то AM перпендикулярен AB. Поэтому треугольник ABM прямоугольный, и угол ABM равен 30°.

В квадрате ABCD сторона BC перпендикулярна AB, а AM также перпендикулярна AB, поэтому плоскость BCM перпендикулярна AB. Следовательно, угол ACM равен углу между CM и плоскостью квадрата.

Пусть сторона квадрата равна a. Из треугольника ABM:

\(\tan 30^\circ=\frac{AM}{AB}\), поэтому \(AM=\frac{a}{\sqrt3}\).

В треугольнике ACM проекция CM на плоскость квадрата имеет длину диагонали AC: \(AC=a\sqrt2\). Поэтому

\[\tan\angle ACM=\frac{AM}{AC}=\frac{a/\sqrt3}{a\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}.\]

Ответ: \(\tan\angle ACM=\frac{\sqrt6}{6}\).