4. Треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C и гипотенузой 6 см. Отрезок CM перпендикулярен плоскости треугольника; расстояние от точки M до прямой AB равно 5 см. Найдите длину отрезка CM.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть H — основание перпендикуляра из C на AB. Для равнобедренного прямоугольного треугольника высота к гипотенузе равна её половине:

\[CH=\frac{AB}{2}=3\text{ см}.\]

Поскольку CM перпендикулярен плоскости треугольника, CM перпендикулярен AB. Поэтому расстояние от M до AB равно MH.

Из прямоугольного треугольника MCH:

\[MH^2=CM^2+CH^2,\]

\[5^2=CM^2+3^2,\quad CM^2=16,\quad CM=4\text{ см}.\]

Ответ: 4 см.