6. Треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C и гипотенузой 6 см. Отрезок AM перпендикулярен плоскости треугольника, ∠MCA = 60°. Найдите длину отрезка MB.

Так как AM перпендикулярен плоскости треугольника, то AM перпендикулярен AC. Следовательно, треугольник ACM прямоугольный с прямым углом A.

В нём угол MCA равен 60°, поэтому угол AMC равен 30°. Сторона AC — катет, противолежащий углу 30°, а MC — гипотенуза.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой 6 см:

\[AC=BC=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\text{ см}.\]

В треугольнике ACM:

\[MC=2AC=6\sqrt2\text{ см}.\]

Поскольку CM перпендикулярен плоскости треугольника, треугольник MCB прямоугольный в C. Тогда

\[MB=\sqrt{MC^2+CB^2}=\sqrt{(6\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2}=\sqrt{72+18}=3\sqrt{10}\text{ см}.\]

Ответ: \(3\sqrt{10}\) см.