Контрольные задания

Вопрос: $Фото задания: 1. Пусть \(x>0\) и \(x+\frac1x=3\). Вычислите \(x^2+\frac1{x^2}\) и \(x^3+\frac1{x^3}\).$ Фото задания

1. Пусть \(x>0\) и \(x+\frac1x=3\). Вычислите \(x^2+\frac1{x^2}\) и \(x^3+\frac1{x^3}\).

Из условия \(x+\frac1x=3\).

Возводим равенство в квадрат: \(x^2+2+\frac1{x^2}=9\), поэтому \(x^2+\frac1{x^2}=7\).
Используем тождество \((x+\frac1x)^3=x^3+\frac1{x^3}+3(x+\frac1x)\). Тогда \(27=x^3+\frac1{x^3}+9\), откуда \(x^3+\frac1{x^3}=18\).

Ответ: 7 и 18.