2. В равнобедренной трапеции $ABCD$ точка $X$ — середина боковой стороны $AB$, причём $CX\perp DX$. Высота трапеции равна 12, а разность длин оснований равна 10. Найдите периметр трапеции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. В равнобедренной трапеции $ABCD$ точка $X$ — середина боковой стороны $AB$, причём $CX\perp DX$. Высота трапеции…$ Фото задания

2. В равнобедренной трапеции $ABCD$ точка $X$ — середина боковой стороны $AB$, причём $CX\perp DX$. Высота трапеции равна 12, а разность длин оснований равна 10. Найдите периметр трапеции.

Accepted Answer

Пусть основания трапеции горизонтальны, а высота равна 12. Обозначим через $u$ горизонтальный сдвиг от $A$ до $B$, через $v$ — от $D$ до $C$. Для равнобедренной трапеции эти сдвиги равны по модулю и противоположны: $v=-u$. Разность оснований равна $2|u|=10$, следовательно, $|u|=5$.

Возьмём координаты $A=(0,0), D=(L,0), B=(u,12), C=(L-u,12)$. Тогда середина $AB$ — точка $X=(u/2,6)$. Условие перпендикулярности даёт $(C-X)\cdot(D-X)=0$:

$(L-3u/2,6)\cdot(L-u/2,-6)=0$, то есть $(L-3u/2)(L-u/2)=36$.

Положим $s=|u|=5$. С учётом возможности зеркально поменять сдвиг, получаем два выражения для основания $L$: $L^2-2sL+3s^2/4-36=0$ или $L^2+2sL+3s^2/4-36=0$. Их корни, совместимые с положительными длинами оснований, дают соответственно $L=5+\frac{\sqrt{319}}2$ и $L=-5+\frac{\sqrt{319}}2$. Для второго случая меньшее основание $L-10$ отрицательно, поэтому он невозможен. В первом случае основания равны $L$ и $L-10$, но $L-10<0$ также невозможно. Следовательно, данные условия несовместимы с существованием такой трапеции.

Ответ: трапеции, удовлетворяющей всем указанным условиям, не существует.