5. Для положительного числа $t$ рассмотрим три квадратных трёхчлена $ax^2+tbx+c$, $bx^2+tcx+a$, $cx^2+tax+b$, где $a,b,c>0$. Для каких значений $t$ можно подобрать $a,b,c$, так, чтобы каждый из трёх трёхчленов имел два различных действительных корня?

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Для положительного числа $t$ рассмотрим три квадратных трёхчлена $ax^2+tbx+c$, $bx^2+tcx+a$, $cx^2+tax+b$, где…$ Фото задания

5. Для положительного числа $t$ рассмотрим три квадратных трёхчлена $ax^2+tbx+c$, $bx^2+tcx+a$, $cx^2+tax+b$, где $a,b,c>0$. Для каких значений $t$ можно подобрать $a,b,c$, так, чтобы каждый из трёх трёхчленов имел два различных действительных корня?

Accepted Answer

Для трёхчлена $ax^2+tbx+c$ условие двух различных действительных корней — положительный дискриминант: $t^2b^2-4ac>0$. Для остальных двух аналогично требуются $t^2c^2>4ab$ и $t^2a^2>4bc$.

Перемножая три строгих неравенства и сокращая положительное $a^2b^2c^2$, получаем $t^6>64$, то есть $t>2$.

Это условие достаточно: при $a=b=c=1$ каждый дискриминант равен $t^2-4$, который положителен при $t>2$.

Ответ: $t>2$.