6. Арифметическая прогрессия с положительной разностью содержит числа 11, 29 и 59. Докажите, что эта прогрессия содержит число 2003.

Пусть разность прогрессии равна \(d>0\). Разности между любыми двумя её членами кратны \(d\), поэтому \(d\) делит \(29-11=18\) и \(59-29=30\). Следовательно, \(d\mid\gcd(18,30)=6\), то есть \(d\in\{1,2,3,6\}\).

Так как 11 и 29 — члены прогрессии, число 2003 будет её членом, если \(2003-11=1992\) кратно \(d\). Число 1992 делится на 1, 2, 3 и 6, поэтому это верно для любого допустимого шага.

Доказано: прогрессия содержит 2003.