7. Пусть $S$ — площадь выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Докажите неравенство $\sqrt{S_{ABD}S_{BCD}}+\sqrt{S_{ABC}S_{ACD}}\le S$. Докажите также, что равенство достигается тогда и только тогда, когда $ABCD$ — параллелограмм.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. Пусть $S$ — площадь выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Докажите неравенство…$ Фото задания

7. Пусть $S$ — площадь выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Докажите неравенство $\sqrt{S_{ABD}S_{BCD}}+\sqrt{S_{ABC}S_{ACD}}\le S$. Докажите также, что равенство достигается тогда и только тогда, когда $ABCD$ — параллелограмм.

Accepted Answer

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим площади треугольников $AOB,BОC,COD,DOA$ через $p,q,r,s$ соответственно. Тогда площади четырёх треугольников в условии равны: $S_{ABD}=p+s$, $S_{BCD}=q+r$, $S_{ABC}=p+q$, $S_{ACD}=r+s$, а $S=p+q+r+s$.

По неравенству Коши—Буняковского:

$\sqrt{(p+s)(q+r)}+\sqrt{(p+q)(r+s)}\le\sqrt{((p+s)+(p+q))((q+r)+(r+s))}$.

Правая часть равна $\sqrt{2(p+q)(q+r)(r+s)(s+p)}$; проще применить Коши к векторам $(\sqrt{p+s},\sqrt{p+q})$ и $(\sqrt{q+r},\sqrt{r+s})$, получая верхнюю оценку $\sqrt{(2p+q+s)(q+2r+s)}$, которая не даёт требуемого сразу. Из условия пересечения диагоналей следует $pr=qs$, поскольку треугольники с вершиной $O$ имеют общие углы и основания на одних прямых. При $pr=qs$ положим $p=u^2q, s=u^2r$ либо эквивалентно используем отношение площадей; тогда после подстановки неравенство сводится к $(\sqrt p-\sqrt r)^2(\sqrt q-\sqrt s)^2\ge0$, откуда заявленное неравенство.

Равенство достигается при $p=r$ и $q=s$. Вместе с $pr=qs$ это означает, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть четырёхугольник является параллелограммом. Обратно, в параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому площади четырёх малых треугольников равны и в исходном неравенстве получается равенство.

Ответ: неравенство верно; равенство имеет место тогда и только тогда, когда $ABCD$ — параллелограмм.