1. Решить систему уравнений: \(\begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases}\)

Решение:

Вычтем из второго уравнения первое:

\((x^2 - xy + y^2) - (x^2 - y^2) = 7 - 5\)

\(-xy + 2y^2 = 2\)

Выразим \(x\) через \(y\): \(x = \frac{2y^2 - 2}{y}\)

Подставим \(x\) в первое уравнение:

\(\( \left( \frac{2y^2 - 2}{y} \right)^2 - y^2 = 5 \))

\(\( \frac{4y^4 - 8y^2 + 4}{y^2} - y^2 = 5 \))

\(\( 4y^4 - 8y^2 + 4 - y^4 = 5y^2 \))

\(\( 3y^4 - 13y^2 + 4 = 0 \))

Пусть \(t = y^2\). Тогда \(3t^2 - 13t + 4 = 0\).

Дискриминант \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121\).

\(t_1 = \frac{13 + 11}{6} = 4\), \(t_2 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Если \(y^2 = 4\), то \(y = ± 2\).

Если \(y = 2\), то \(x = \frac{2(2)^2 - 2}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3\).

Если \(y = -2\), то \(x = \frac{2(-2)^2 - 2}{-2} = \frac{8 - 2}{-2} = -3\).

Если \(y^2 = \frac{1}{3}\), то \(y = ± \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Если \(y = \frac{1}{\sqrt{3}}\), то \(x = \frac{2(1/3) - 2}{1/\sqrt{3}} = \frac{2/3 - 2}{1/\sqrt{3}} = \frac{-4/3}{1/\sqrt{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Если \(y = -\frac{1}{\sqrt{3}}\), то \(x = \frac{2(1/3) - 2}{-1/\sqrt{3}} = \frac{-4/3}{-1/\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \( (3; 2), (-3; -2), (-\frac{4}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{4}{\sqrt{3}}; -\frac{1}{\sqrt{3}}) \).