6. Решить уравнение: \(\log_{12} |2x| = 0.25 \log_{12} |x - 15|^4\)

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства логарифмов:

\[ \log_{12} |2x| = \log_{12} (|x - 15|^4)^{0.25} \]

\[ \log_{12} |2x| = \log_{12} |x - 15| \]

Поскольку основания логарифмов равны, приравняем аргументы:

\[ |2x| = |x - 15| \]

Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от модулей:

\[ (2x)^2 = (x - 15)^2 \]

\[ 4x^2 = x^2 - 30x + 225 \]

\[ 3x^2 + 30x - 225 = 0 \]

Разделим на 3:

\[ x^2 + 10x - 75 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 100 + 300 = 400 \]

\[ \sqrt{D} = 20 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-10 + 20}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-10 - 20}{2} = -15 \]

Проверим, что значения \(x\) не обращают аргументы логарифмов в ноль ( \(|2x| \neq 0\) и \(|x - 15| \neq 0\) ).

При \(x = 5\): \(|2 \cdot 5| = 10 \neq 0\), \(|5 - 15| = |-10| = 10 \neq 0\). Решение подходит.

При \(x = -15\): \(|2 \cdot (-15)| = |-30| = 30 \neq 0\), \(|-15 - 15| = |-30| = 30 \neq 0\). Решение подходит.

Ответ: \(x = 5, x = -15\).