9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x\)

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, нам нужно найти её критические точки, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка (если он задан). Так как промежуток не задан, будем искать точки экстремума.

1. Найдём производную функции:
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x\right) \]
   \[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 \]
   \[ f'(x) = x^2 - 5x + 6 \]
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:
   \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
   Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\).
   \[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]
   \[ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]
3. Определим знаки производной на интервалах:
   * Интервал \((-\infty, 2)\): Возьмём \(x = 0\). \(f'(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0\). Функция возрастает.
   * Интервал \((2, 3)\): Возьмём \(x = 2.5\). \(f'(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0\). Функция убывает.
   * Интервал \((3, \infty)\): Возьмём \(x = 4\). \(f'(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0\). Функция возрастает.
4. Найдём значения функции в критических точках:
   * В точке \(x = 2\) (максимум):
   \[ f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 + 6(2) = \frac{1}{3}(8) - \frac{5}{2}(4) + 12 = \frac{8}{3} - 10 + 12 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8 + 6}{3} = \frac{14}{3} \]
   * В точке \(x = 3\) (минимум):
   \[ f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{5}{2}(3)^2 + 6(3) = \frac{1}{3}(27) - \frac{5}{2}(9) + 18 = 9 - \frac{45}{2} + 18 = 27 - \frac{45}{2} = \frac{54 - 45}{2} = \frac{9}{2} \]

Поскольку функция не определена на замкнутом промежутке, она не имеет строго наибольшего или наименьшего значения (стремится к \(\infty\) или \(-\infty\) при \(x → ±\infty\)). Однако, если требуется найти локальные экстремумы:

Наибольшее локальное значение (максимум) равно \(\frac{14}{3}\) в точке \(x=2\).

Наименьшее локальное значение (минимум) равно \(\frac{9}{2}\) в точке \(x=3\).

Ответ: Наибольшее локальное значение функции равно \(\frac{14}{3}\), наименьшее локальное значение функции равно \(\frac{9}{2}\).