2. Решить неравенство: \(\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} > \frac{3}{2}\)

Решение:

ОДЗ: \(1 - 4x^2 ≥ 0 ⇒ 4x^2 ≤ 1 ⇒ x^2 ≤ \frac{1}{4} ⇒ -\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}\). Также \(x \neq 0\).

Перенесём \(\frac{3}{2}\) влево:

\(\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} - \frac{3}{2} > 0\)

\(\frac{2 - 2\sqrt{1 - 4x^2} - 3x}{2x} > 0\)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \(x > 0\)

Тогда \(2x > 0\). Значит, \(2 - 2\sqrt{1 - 4x^2} - 3x > 0\).

\(2 - 3x > 2\sqrt{1 - 4x^2}\)

Если \(2 - 3x ≤ 0\) (т.е. \(x ≥ \frac{2}{3}\)), то неравенство не имеет решений, так как правая часть неотрицательна.

Если \(0 < x < \frac{2}{3}\), возведём обе части в квадрат:

\((2 - 3x)^2 > 4(1 - 4x^2)\)

\(4 - 12x + 9x^2 > 4 - 16x^2\)

\(25x^2 - 12x > 0\)

\(x(25x - 12) > 0\)

Решения: \(x < 0\) или \(x > \frac{12}{25}\).

Учитывая \(0 < x < \frac{1}{2}\) и \(x < \frac{2}{3}\), получаем \(\frac{12}{25} < x < \frac{1}{2}\).

Случай 2: \(x < 0\)

Тогда \(2x < 0\). Значит, \(2 - 2\sqrt{1 - 4x^2} - 3x < 0\).

\(2 - 3x < 2\sqrt{1 - 4x^2}\)

Поскольку \(x < 0\), то \(2 - 3x > 2\), а \(2\sqrt{1 - 4x^2} ≥ 0\). Следовательно, \(2 - 3x > 2\sqrt{1 - 4x^2}\) выполняется всегда, когда \(x < 0\).

Учитывая ОДЗ \(-\frac{1}{2} ≤ x < 0\), получаем \(-\frac{1}{2} ≤ x < 0\).

Объединяем решения обоих случаев: \((-\frac{1}{2} ≤ x < 0) ∪ (\frac{12}{25} < x < \frac{1}{2})\).

Ответ: \([-\frac{1}{2}, 0) ∪ (\frac{12}{25}, \frac{1}{2}]\).