5. Найдите производную функции. \(f(x) = 2x^5 - 4x^3 + x^2 - 8\)

Решение:

Чтобы найти производную функции \(f(x) = 2x^5 - 4x^3 + x^2 - 8\), применим правило дифференцирования степенной функции \((\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1})\) и правило линейности производной.

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^5 - 4x^3 + x^2 - 8) \]

\[ f'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^5) - 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(8) \]

\[ f'(x) = 2 \cdot (5x^{5-1}) - 4 \cdot (3x^{3-1}) + (2x^{2-1}) - 0 \]

\[ f'(x) = 2 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 3x^2 + 2x \]

\[ f'(x) = 10x^4 - 12x^2 + 2x \]

Ответ: \(f'(x) = 10x^4 - 12x^2 + 2x\).