1.Решить уравнение √2х+5 = 8-√x-1

Решение:

Перенесём корни в разные части уравнения:

\( \sqrt{2x+5} + \sqrt{x-1} = 8 \)

Возведём обе части в квадрат:

\( (\sqrt{2x+5} + \sqrt{x-1})^2 = 8^2 \)

\( (2x+5) + (x-1) + 2\sqrt{(2x+5)(x-1)} = 64 \)

\( 3x + 4 + 2\sqrt{2x^2 - 2x + 5x - 5} = 64 \)

\( 3x + 4 + 2\sqrt{2x^2 + 3x - 5} = 64 \)

\( 2\sqrt{2x^2 + 3x - 5} = 60 - 3x \)

Снова возведём обе части в квадрат:

\( 4(2x^2 + 3x - 5) = (60 - 3x)^2 \)

\( 8x^2 + 12x - 20 = 3600 - 360x + 9x^2 \)

\( 0 = 9x^2 - 8x^2 - 360x - 12x + 3600 + 20 \)

\( x^2 - 372x + 3620 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = (-372)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3620 = 138384 - 14480 = 123904 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{123904} = 352 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{372 + 352}{2} = \frac{724}{2} = 362 \)

\( x_2 = \frac{372 - 352}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

Проверим корни:

Для \( x = 362 \): \( \sqrt{2 \cdot 362 + 5} = \sqrt{724+5} = \sqrt{729} = 27 \). \( 8 - \sqrt{362-1} = 8 - \sqrt{361} = 8 - 19 = -11 \). \( 27 \neq -11 \). Значит \( x=362 \) не подходит.

Для \( x = 10 \): \( \sqrt{2 \cdot 10 + 5} = \sqrt{25} = 5 \). \( 8 - \sqrt{10-1} = 8 - \sqrt{9} = 8 - 3 = 5 \). \( 5 = 5 \). Значит \( x=10 \) подходит.

Ответ: x = 10.