7. Решить примеры на неопределенный интеграл:

Решение:

Разделим числитель на \( x \) почленно:

\( \int \frac{x^3 + 6x^2 + 12x + 8x^4}{x} dx = \int (\frac{x^3}{x} + \frac{6x^2}{x} + \frac{12x}{x} + \frac{8x^4}{x}) dx \)

\( = \int (x^2 + 6x + 12 + 8x^3) dx \)

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое отдельно:

\( = \int x^2 dx + \int 6x dx + \int 12 dx + \int 8x^3 dx \)

Используем правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( = \frac{x^3}{3} + 6 \frac{x^2}{2} + 12x + 8 \frac{x^4}{4} + C \)

\( = \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 12x + 2x^4 + C \)

Ответ: \( \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 12x + 2x^4 + C \).