Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть дана равнобедренная трапеция \( ABCD \) с основаниями \( BC = 2 \) см (меньшее) и \( AD = 3 \) см (большее). Угол при большем основании \( \angle DAB = \angle CDA = 60^{\circ} \).
Трапеция вращается вокруг меньшего основания \( BC \).
Проведём высоты \( BH_1 \) и \( CK_1 \) из вершин \( B \) и \( C \) к основанию \( AD \). В равнобедренной трапеции \( AH_1 = K_1D = \frac{AD - BC}{2} = \frac{3 - 2}{2} = 0.5 \) см.
Высота трапеции \( h = BH_1 \). В прямоугольном треугольнике \( ABH_1 \):
\( \tan(60^{\circ}) = \frac{BH_1}{AH_1} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{0.5} \Rightarrow h = 0.5 \sqrt{3} \) см.
При вращении трапеции вокруг основания \( BC \) получится фигура, состоящая из цилиндра и двух конусов по бокам, но это не так.
Если трапеция вращается вокруг одного из оснований, то получится фигура, состоящая из цилиндра и двух конусов. Однако, если вращение происходит вокруг меньшего основания, то образуется цилиндр, из которого вычитаются два конуса. Или, более точное представление: центральная часть - цилиндр, а по краям - два конуса, обращённые основаниями друг к другу.
Рассмотрим сечение трапеции. Высота \( h = 0.5 \sqrt{3} \) станет радиусом цилиндра и конусов. Длина основания \( BC = 2 \) см — это высота цилиндра. Боковые стороны \( AB = CD \) — образующие конусов.
Длину боковой стороны \( AB \) найдём из \( \triangle ABH_1 \):
\( AB = \frac{AH_1}{\cos(60^{\circ})} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \) см.
Фигура вращения состоит из:
- Цилиндра с радиусом \( r = h = 0.5 \sqrt{3} \) и высотой \( H_{cyl} = BC = 2 \).
- Двух конусов с радиусом \( r = h = 0.5 \sqrt{3} \) и образующей \( l = AB = 1 \). Высота каждого конуса равна \( AH_1 = K_1D = 0.5 \).
Объем цилиндра: \( V_{cyl} = \pi r^2 H_{cyl} = \pi (0.5\sqrt{3})^2 2 = \pi (0.25 3) 2 = \pi (0.75) 2 = 1.5\pi \) см³.
Объем одного конуса: \( V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone} = \frac{1}{3} \pi (0.5\sqrt{3})^2 0.5 = \frac{1}{3} \pi (0.75) 0.5 = \frac{1}{3} \pi \frac{3}{4} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8} \) см³.
Объем двух конусов: \( 2 V_{cone} = 2 \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \) см³.
Полный объём фигуры вращения: \( V = V_{cyl} + 2V_{cone} = 1.5\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2}\pi + \frac{1}{4}\pi = \frac{6\pi + \pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \) см³.
Ответ: \( \frac{7\pi}{4} \) см³.
