3. Решить уравнение log10(2 - 3x) + log10(2 + 3x) = log10(4-x)+log10(x)

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

• \( 2 - 3x > 0 \Rightarrow 3x < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{3} \)
• \( 2 + 3x > 0 \Rightarrow 3x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{3} \)
• \( 4 - x > 0 \Rightarrow x < 4 \)
• \( x > 0 \)

Объединяя все условия, получаем \( 0 < x < \frac{2}{3} \).

Используем свойства логарифмов (сумма логарифмов равна логарифму произведения):

\( \log_{10}((2 - 3x)(2 + 3x)) = \log_{10}((4-x)x) \)

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:

\( (2 - 3x)(2 + 3x) = (4-x)x \)

\( 4 - 9x^2 = 4x - x^2 \)

\( 0 = 9x^2 - x^2 + 4x - 4 \)

\( 8x^2 + 4x - 4 = 0 \)

Разделим на 4:

\( 2x^2 + x - 1 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

\( x_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \)

Проверим корни на соответствие ОДЗ \( 0 < x < \frac{2}{3} \).

\( x_1 = \frac{1}{2} \) удовлетворяет ОДЗ, так как \( 0 < \frac{1}{2} < \frac{2}{3} \).

\( x_2 = -1 \) не удовлетворяет ОДЗ, так как \( -1 \not> 0 \).

Ответ: x = 1/2.