11. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник, \( AB = BC = 20 \) см, \( AC = 5 \) см. Биссектриса угла при основании — это биссектриса угла \( \angle BAC \) или \( \angle BCA \).

Пусть \( BD \) — биссектриса угла \( \angle BAC \), где \( D \) лежит на \( BC \). По теореме о биссектрисе угла треугольника:

\( \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD} \) — это не та биссектриса, которую нужно найти.

Нам нужна биссектриса угла при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит \( \angle BAC = \angle BCA \).

Пусть \( AL \) — биссектриса угла \( \angle BAC \), где \( L \) лежит на \( BC \). По теореме о биссектрисе:

\( \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{5} = 4 \).

Так как \( BL + LC = BC = 20 \), то \( BL = 4LC \).

\( 4LC + LC = 20 \Rightarrow 5LC = 20 \Rightarrow LC = 4 \) см.

\( BL = 4 4 = 16 \) см.

Теперь найдём длину биссектрисы \( AL \) по формуле:

\( AL^2 = AB AC - BL LC \)

\( AL^2 = 20 5 - 16 4 \)

\( AL^2 = 100 - 64 \)

\( AL^2 = 36 \)

\( AL = 6 \) см.

Ответ: 6 см.