1. Решите неравенство: (2x^2 - 5x + 2) / (x + 4) < 0

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{2x^2 - 5x + 2}{x + 4} < 0 \) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)
• Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \)
• \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \)
2. Корень знаменателя: \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)

Теперь определим знаки интервалов на числовой оси:

(-∞; -4) : возьмем \( x = -5 \) → \( \frac{2(-5)^2 - 5(-5) + 2}{-5 + 4} = \frac{50 + 25 + 2}{-1} = \frac{77}{-1} = -77 < 0 \) (подходит)

(-4; 0.5) : возьмем \( x = 0 \) → \( \frac{2(0)^2 - 5(0) + 2}{0 + 4} = \frac{2}{4} = 0.5 > 0 \) (не подходит)

(0.5; 2) : возьмем \( x = 1 \) → \( \frac{2(1)^2 - 5(1) + 2}{1 + 4} = \frac{2 - 5 + 2}{5} = \frac{-1}{5} < 0 \) (подходит)

(2; +∞) : возьмем \( x = 3 \) → \( \frac{2(3)^2 - 5(3) + 2}{3 + 4} = \frac{18 - 15 + 2}{7} = \frac{5}{7} > 0 \) (не подходит)

Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (0.5; 2) \).