1. Решите уравнение: 1) sin 4x = -√2/2; 2) cos(x/2 - π/8) = 0; 3) cos3x + cos5x = ?

Решение:

• 1. sin 4x = -√2/2
  • Это уравнение вида sin(α) = a, где α = 4x и a = -√2/2.
  • Общее решение:
    • 4x = (-1)^{n+1} arcsin(√2/2) + πn, где n ∈ Z
    • 4x = (-1)^{n+1} π/4 + πn
    • x = (-1)^{n+1} π/16 + πn/4, где n ∈ Z
• 2. cos(x/2 - π/8) = 0
  • Это уравнение вида cos(α) = 0, где α = x/2 - π/8.
  • Общее решение:
    • α = π/2 + πn, где n ∈ Z
    • x/2 - π/8 = π/2 + πn
    • x/2 = π/2 + π/8 + πn
    • x/2 = 5π/8 + πn
    • x = 5π/4 + 2πn, где n ∈ Z
• 3. cos3x + cos5x = ?
  • Данное выражение является суммой косинусов. Если бы это было уравнение, например, cos3x + cos5x = C, мы бы использовали формулу суммы косинусов: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2).
  • 2 cos((3x+5x)/2) cos((3x-5x)/2) = 2 cos(4x) cos(-x) = 2 cos(4x) cos(x).
  • Если предполагается решение уравнения cos3x + cos5x = 0, то:
  • 2 cos(4x) cos(x) = 0
  • cos(4x) = 0 или cos(x) = 0
  • 4x = π/2 + πn => x = π/8 + πn/4, n ∈ Z
  • x = π/2 + 2πk, k ∈ Z

Ответ:

• 1. x = (-1)^{n+1} π/16 + πn/4, n ∈ Z
• 2. x = 5π/4 + 2πn, n ∈ Z
• 3. Решение уравнения cos3x + cos5x = 0: x = π/8 + πn/4, n ∈ Z; x = π/2 + 2πk, k ∈ Z