Вариант 2. 1. Решите уравнение: 1) cos6x = -√3/2; 2) sin(x/3 + π/6) = -1; 3) sin 5x + sin 7x = ?

Решение:

• 1. cos6x = -√3/2
  • Это уравнение вида cos(α) = a, где α = 6x и a = -√3/2.
  • Общее решение:
    • α = ± arccos(-√3/2) + 2πn, где n ∈ Z
    • arccos(-√3/2) = 5π/6 (так как cos(5π/6) = -√3/2).
    • 6x = ± 5π/6 + 2πn
    • Разделим на 6:
    • x = ± 5π/36 + πn/3, где n ∈ Z
• 2. sin(x/3 + π/6) = -1
  • Это уравнение вида sin(α) = -1, где α = x/3 + π/6.
  • Общее решение:
    • α = 3π/2 + 2πn, где n ∈ Z
    • x/3 + π/6 = 3π/2 + 2πn
    • x/3 = 3π/2 - π/6 + 2πn
    • x/3 = 9π/6 - π/6 + 2πn
    • x/3 = 8π/6 + 2πn
    • x/3 = 4π/3 + 2πn
    • x = 4π + 6πn, где n ∈ Z
• 3. sin 5x + sin 7x = ?
  • Если это уравнение, например, sin 5x + sin 7x = 0, то используем формулу суммы синусов: sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2).
  • 2 sin((5x+7x)/2) cos((5x-7x)/2) = 0
  • 2 sin(6x) cos(-x) = 0
  • 2 sin(6x) cos(x) = 0
  • sin(6x) = 0 или cos(x) = 0.
  • 6x = πn => x = πn/6, n ∈ Z
  • x = π/2 + 2πk, k ∈ Z

Ответ:

• 1. x = ± 5π/36 + πn/3, n ∈ Z
• 2. x = 4π + 6πn, n ∈ Z
• 3. Решение уравнения sin 5x + sin 7x = 0: x = πn/6, n ∈ Z; x = π/2 + 2πk, k ∈ Z