2. Решите неравенство: 1) sin x/6 > √3/2; 2) ctg(6x + π/6) ≥ -√3.

Решение:

• 1. sin x/6 > √3/2
  • Рассмотрим единичную окружность. Значение синуса равно √3/2 при углах π/3 и 2π/3.
  • Нам нужны значения, где синус больше √3/2. Это интервал от π/3 до 2π/3, но не включая сами значения √3/2.
  • Пусть α = x/6. Тогда:
    • π/3 + 2πn < α < 2π/3 + 2πn, где n ∈ Z
    • π/3 + 2πn < x/6 < 2π/3 + 2πn
    • Умножим все части на 6:
    • 2π + 12πn < x < 4π + 12πn, где n ∈ Z
• 2. ctg(6x + π/6) ≥ -√3
  • Это неравенство вида ctg(α) ≥ a, где α = 6x + π/6 и a = -√3.
  • Значение котангенса равно -√3 при угле 5π/6.
  • Общее решение для ctg(α) ≥ a:
    • πn < α ≤ arccot(a) + πn, где n ∈ Z
    • πn < 6x + π/6 ≤ 5π/6 + πn
    • Вычтем π/6 из всех частей:
    • πn - π/6 < 6x ≤ 5π/6 - π/6 + πn
    • -π/6 + πn < 6x ≤ 4π/6 + πn
    • -π/6 + πn < 6x ≤ 2π/3 + πn
    • Разделим все части на 6:
    • -π/36 + πn/6 < x ≤ π/9 + πn/6, где n ∈ Z

Ответ:

• 1. x ∈ (2π + 12πn; 4π + 12πn), n ∈ Z
• 2. x ∈ (-π/36 + πn/6; π/9 + πn/6], n ∈ Z