3. Решите уравнение: 1) 3cos²x + 7sin x - 5 = 0; 2) 2sin²x + 1.5sin 2x - 3cos²x = 1; 3) sin 8x + sin 10x + cos x = 0.

Решение:

• 1. 3cos²x + 7sin x - 5 = 0
  • Используем основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x.
  • 3(1 - sin²x) + 7sin x - 5 = 0
  • 3 - 3sin²x + 7sin x - 5 = 0
  • -3sin²x + 7sin x - 2 = 0
  • 3sin²x - 7sin x + 2 = 0
  • Сделаем замену: t = sin x. Получим квадратное уравнение: 3t² - 7t + 2 = 0.
  • Дискриминант D = (-7)² - 4 * 3 * 2 = 49 - 24 = 25.
  • t₁ = (7 + √25) / (2 * 3) = (7 + 5) / 6 = 12 / 6 = 2.
  • t₂ = (7 - √25) / (2 * 3) = (7 - 5) / 6 = 2 / 6 = 1/3.
  • Так как t = sin x, и область значений синуса [-1, 1], то t = 2 не подходит.
  • Остается sin x = 1/3.
  • Общее решение: x = arcsin(1/3) + 2πn или x = π - arcsin(1/3) + 2πn, где n ∈ Z.
• 2. 2sin²x + 1.5sin 2x - 3cos²x = 1
  • Используем формулу синуса двойного угла: sin 2x = 2sin x cos x.
  • 2sin²x + 1.5(2sin x cos x) - 3cos²x = 1
  • 2sin²x + 3sin x cos x - 3cos²x = 1
  • Представим 1 как sin²x + cos²x:
  • 2sin²x + 3sin x cos x - 3cos²x = sin²x + cos²x
  • Перенесем все в левую часть:
  • (2sin²x - sin²x) + 3sin x cos x + (-3cos²x - cos²x) = 0
  • sin²x + 3sin x cos x - 4cos²x = 0
  • Если cos x = 0, то sin x = ±1. Подставим в уравнение: (±1)² + 3(±1)(0) - 4(0)² = 1 ≠ 0. Значит, cos x ≠ 0.
  • Разделим обе части на cos²x:
  • sin²x/cos²x + 3sin x cos x/cos²x - 4cos²x/cos²x = 0
  • tg²x + 3tg x - 4 = 0
  • Сделаем замену: y = tg x. Получим квадратное уравнение: y² + 3y - 4 = 0.
  • (y + 4)(y - 1) = 0
  • y₁ = -4, y₂ = 1.
  • Случай 1: tg x = 1. Общее решение: x = π/4 + πn, где n ∈ Z.
  • Случай 2: tg x = -4. Общее решение: x = arctg(-4) + πn, где n ∈ Z.
• 3. sin 8x + sin 10x + cos x = 0
  • Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов: sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2).
  • 2 sin((8x+10x)/2) cos((8x-10x)/2) + cos x = 0
  • 2 sin(9x) cos(-x) + cos x = 0
  • 2 sin(9x) cos(x) + cos x = 0
  • Вынесем cos x за скобки:
  • cos x (2 sin(9x) + 1) = 0
  • Получаем два случая:
  • Случай 1: cos x = 0. Общее решение: x = π/2 + πn, где n ∈ Z.
  • Случай 2: 2 sin(9x) + 1 = 0.
  • sin(9x) = -1/2.
  • Общее решение: 9x = (-1)^{k+1} arcsin(1/2) + πk, где k ∈ Z.
  • 9x = (-1)^{k+1} π/6 + πk.
  • x = (-1)^{k+1} π/54 + πk/9, где k ∈ Z.

Ответ:

• 1. x = arcsin(1/3) + 2πn; x = π - arcsin(1/3) + 2πn, n ∈ Z
• 2. x = π/4 + πn; x = arctg(-4) + πn, n ∈ Z
• 3. x = π/2 + πn; x = (-1)^{k+1} π/54 + πk/9, n, k ∈ Z