3. Решите уравнение: 1) 4sin²x - 11cos x - 1 = 0; 2) 3sin² x - sin 2x - cos² x = 2;

Решение:

• 1. 4sin²x - 11cos x - 1 = 0
  • Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x = 1 - cos²x.
  • 4(1 - cos²x) - 11cos x - 1 = 0
  • 4 - 4cos²x - 11cos x - 1 = 0
  • -4cos²x - 11cos x + 3 = 0
  • 4cos²x + 11cos x - 3 = 0
  • Сделаем замену: t = cos x. Получим квадратное уравнение: 4t² + 11t - 3 = 0.
  • Дискриминант D = 11² - 4 * 4 * (-3) = 121 + 48 = 169.
  • t₁ = (-11 + √169) / (2 * 4) = (-11 + 13) / 8 = 2 / 8 = 1/4.
  • t₂ = (-11 - √169) / (2 * 4) = (-11 - 13) / 8 = -24 / 8 = -3.
  • Так как t = cos x, и область значений косинуса [-1, 1], то t = -3 не подходит.
  • Остается cos x = 1/4.
  • Общее решение: x = ± arccos(1/4) + 2πn, где n ∈ Z.
• 2. 3sin² x - sin 2x - cos² x = 2
  • Используем формулу синуса двойного угла: sin 2x = 2sin x cos x.
  • 3sin²x - 2sin x cos x - cos²x = 2
  • Представим 2 как 2(sin²x + cos²x):
  • 3sin²x - 2sin x cos x - cos²x = 2sin²x + 2cos²x
  • Перенесем все в левую часть:
  • (3sin²x - 2sin²x) - 2sin x cos x + (-cos²x - 2cos²x) = 0
  • sin²x - 2sin x cos x - 3cos²x = 0
  • Если cos x = 0, то sin x = ±1. Подставим в уравнение: (±1)² - 2(±1)(0) - 3(0)² = 1 ≠ 0. Значит, cos x ≠ 0.
  • Разделим обе части на cos²x:
  • sin²x/cos²x - 2sin x cos x/cos²x - 3cos²x/cos²x = 0
  • tg²x - 2tg x - 3 = 0
  • Сделаем замену: y = tg x. Получим квадратное уравнение: y² - 2y - 3 = 0.
  • (y - 3)(y + 1) = 0
  • y₁ = 3, y₂ = -1.
  • Случай 1: tg x = 3. Общее решение: x = arctg(3) + πn, где n ∈ Z.
  • Случай 2: tg x = -1. Общее решение: x = -π/4 + πn, где n ∈ Z.

Ответ:

• 1. x = ± arccos(1/4) + 2πn, n ∈ Z
• 2. x = arctg(3) + πn; x = -π/4 + πn, n ∈ Z