4. Решите уравнение sin 2x + √3 cos 2x = 2cos 6x.

Решение:

• Левая часть уравнения представлена в виде a sin(α) + b cos(α). Преобразуем ее к виду R sin(α + φ) или R cos(α - φ).
• Вынесем общий множитель R = √(a² + b²) = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
• 2 * (1/2 sin 2x + √3/2 cos 2x) = 2cos 6x
• Заметим, что 1/2 = sin(π/6) и √3/2 = cos(π/6), или наоборот. Используем формулу синуса суммы: sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
• 2 * (sin 2x cos(π/6) + cos 2x sin(π/6)) = 2cos 6x
• 2 * sin(2x + π/6) = 2cos 6x
• sin(2x + π/6) = cos 6x
• Теперь используем основное тригонометрическое тождество: cos(α) = sin(π/2 - α).
• sin(2x + π/6) = sin(π/2 - 6x)
• Теперь у нас есть уравнение вида sin(A) = sin(B), которое имеет два случая решений:
• Случай 1: A = B + 2πn
• 2x + π/6 = π/2 - 6x + 2πn, где n ∈ Z
• 8x = π/2 - π/6 + 2πn
• 8x = 3π/6 - π/6 + 2πn
• 8x = 2π/6 + 2πn
• 8x = π/3 + 2πn
• x = π/24 + πn/4, где n ∈ Z
• Случай 2: A = π - B + 2πn
• 2x + π/6 = π - (π/2 - 6x) + 2πn, где n ∈ Z
• 2x + π/6 = π - π/2 + 6x + 2πn
• 2x + π/6 = π/2 + 6x + 2πn
• 2x - 6x = π/2 - π/6 + 2πn
• -4x = 3π/6 - π/6 + 2πn
• -4x = 2π/6 + 2πn
• -4x = π/3 + 2πn
• x = -π/12 - πn/2, где n ∈ Z

Ответ:

• x = π/24 + πn/4, n ∈ Z
• x = -π/12 - πn/2, n ∈ Z