2. Решите неравенство: 1) cos5x < 1/2; 2) tg(5x - π/3) ≥ -√3/3

Решение:

• 1. cos5x < 1/2
  • Рассмотрим единичную окружность. Значение косинуса равно 1/2 при углах π/3 и -π/3 (или 5π/3).
  • Нам нужны значения, где косинус меньше 1/2. Это интервал от -π/3 до π/3, но исключая сами значения 1/2.
  • Пусть α = 5x. Тогда:
    • -π/3 + 2πn < α < π/3 + 2πn, где n ∈ Z
    • -π/3 + 2πn < 5x < π/3 + 2πn
    • Разделим все части на 5:
    • -π/15 + 2πn/5 < x < π/15 + 2πn/5, где n ∈ Z
• 2. tg(5x - π/3) ≥ -√3/3
  • Это неравенство вида tg(α) ≥ a, где α = 5x - π/3 и a = -√3/3.
  • Значение тангенса равно -√3/3 при угле -π/6 (или 5π/6).
  • Функция тангенса возрастает на своей области определения.
  • Общее решение для tg(α) ≥ a:
    • arctg(a) + πn ≤ α < π/2 + πn, где n ∈ Z
    • -π/6 + πn ≤ 5x - π/3 < π/2 + πn
    • Прибавим π/3 ко всем частям:
    • -π/6 + π/3 + πn ≤ 5x < π/2 + π/3 + πn
    • π/6 + πn ≤ 5x < 5π/6 + πn
    • Разделим все части на 5:
    • π/30 + πn/5 ≤ x < π/6 + πn/5, где n ∈ Z

Ответ:

• 1. x ∈ (-π/15 + 2πn/5; π/15 + 2πn/5), n ∈ Z
• 2. x ∈ [π/30 + πn/5; π/6 + πn/5), n ∈ Z