1. Свойство вписанного четырехугольника. 2. Площадь треугольника (формулировка и доказательство). 3. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Билет № 14

1. Свойство вписанного четырехугольника:
• Четырехугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности.
• Основное свойство: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
2. Площадь треугольника (формулировка и доказательство):
• Формулировка: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
• Доказательство: Пусть дан $$\triangle ABC$$. Опустим высоту $$BH$$ из вершины $$B$$ на основание $$AC$$. Площадь $$\triangle ABC$$ равна $$S = \frac{1}{2} AC × BH$$.
3. Решение задачи:
• Пусть дан параллелограмм $$ABCD$$, и биссектриса $$BK$$ угла $$B$$ делит сторону $$AD$$ на отрезки $$AK = 7$$ см и $$KD = 14$$ см.
• В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $$AD = BC = 7 + 14 = 21$$ см.
• Так как $$BK$$ — биссектриса $$\angle B$$, то $$\angle ABK = \angle KBC$$.
• Так как $$AD Ⅲ BC$$ (параллельные прямые), то $$\angle KBC = \angle AKB$$ как накрест лежащие.
• Следовательно, $$\angle ABK = \angle AKB$$. Это означает, что $$\triangle ABK$$ — равнобедренный, и $$AB = AK = 7$$ см.
• Теперь мы знаем все стороны параллелограмма: $$AB = CD = 7$$ см и $$AD = BC = 21$$ см.
• Периметр параллелограмма $$P = 2(AB + AD) = 2(7 + 21) = 2(28) = 56$$ см.

Ответ: 56 см.