№1. Тип 20 Мяч массой 100 г бросили вертикально вверх с поверхности земли. Поднявшись на высоту 2 м, мяч начал падать вниз. На какой высоте относительно земли его поймали, если известно, что в этот момент его кинетическая энергия была равна 0,5 Дж? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

• Масса мяча: $$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}
• Начальная высота: $$h_0 = 2 \(\text{ м}\)
• Кинетическая энергия: $$E_k = 0.5 \text{ Дж}

Найти:

• Высота, на которой поймали мяч: $$h$$

Решение:

Воспользуемся законом сохранения механической энергии. В верхней точке подъема (на высоте 2 м) мяч имел некоторую потенциальную энергию и нулевую кинетическую энергию (если считать, что он там на мгновение остановился). При падении вниз его кинетическая энергия превращается в потенциальную и работу против силы трения (которой мы пренебрегаем).

На высоте 2 м, потенциальная энергия мяча была:

\[ E_{p0} = m \times g \times h_0 \]

Примем ускорение свободного падения $$g = 10 \(\text{ м/с}\)^2$$.

\[ E_{p0} = 0.1 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 \times 2 \text{ м} = 2 \text{ Дж} \]

Когда мяч поймали, его кинетическая энергия составляла $$E_k = 0.5 \(\text{ Дж}\)$$. Полная механическая энергия в этот момент равна сумме кинетической и потенциальной энергии на этой высоте $$h$$.

\[ E_{total} = E_k + E_p = 0.5 \text{ Дж} + m \times g \times h \]

Поскольку мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, полная механическая энергия сохраняется. То есть, энергия в верхней точке равна энергии в момент, когда мяч поймали.

\[ E_{p0} = E_k + m \times g \times h \]\[ 2 \text{ Дж} = 0.5 \text{ Дж} + 0.1 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 \times h \]\[ 2 = 0.5 + 1 \times h \]\[ 2 - 0.5 = h \]\[ h = 1.5 \text{ м} \]

Ответ: 1.5 м.