1. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 20, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 3√39. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

• Катет AC = 20.
• Высота CH = 3√39.

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

• Через катеты: S = (1/2) * AC * BC
• Через гипотенузу и высоту: S = (1/2) * AB * CH

Из подобия треугольников AHC и ABC следует:

• AC / AB = CH / BC
• 20 / AB = 3√39 / BC

Также, по теореме Пифагора:

• AC² + BC² = AB²
• 20² + BC² = AB²

Из подобия треугольников ABC и CBH:

• BC / AB = CH / AC
• BC / AB = 3√39 / 20
• BC = (3√39 / 20) * AB

Подставим это в уравнение Пифагора:

• 20² + ((3√39 / 20) * AB)² = AB²
• 400 + (9 * 39 / 400) * AB² = AB²
• 400 + (351 / 400) * AB² = AB²
• 400 = AB² - (351 / 400) * AB²
• 400 = (1 - 351/400) * AB²
• 400 = (49/400) * AB²
• AB² = 400 * (400 / 49)
• AB² = 160000 / 49
• AB = √(160000 / 49) = 400 / 7

Теперь найдем BC:

• BC = (3√39 / 20) * (400 / 7)
• BC = (3√39 * 20) / 7
• BC = 60√39 / 7

В прямоугольном треугольнике ABC:

• sin ∠ABC = AC / AB
• sin ∠ABC = 20 / (400 / 7)
• sin ∠ABC = 20 * (7 / 400)
• sin ∠ABC = 140 / 400
• sin ∠ABC = 14 / 40
• sin ∠ABC = 7 / 20

Проверка:

Площадь S = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 20 * (60√39 / 7) = 10 * (60√39 / 7) = 600√39 / 7

Площадь S = (1/2) * AB * CH = (1/2) * (400/7) * 3√39 = (200/7) * 3√39 = 600√39 / 7

Площади совпадают.