3. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 1°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим стороны параллелограмма как AB = CD = a, BC = AD = b.

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O и делятся пополам. Обозначим диагонали AC = d1, BD = d2.

По условию:

• d1 = 2a
• ∠ACD = 1°

В треугольнике ACD:

• Стороны: AD = b, CD = a, AC = 2a
• Угол ∠ACD = 1°

По теореме синусов в треугольнике ACD:

• AD / sin(∠ACD) = CD / sin(∠CAD)
• b / sin(1°) = a / sin(∠CAD)
• sin(∠CAD) = (a * sin(1°)) / b

Также, ∠CAD = ∠ACB (накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей AC).

Угол между диагоналями ∠AOD или ∠COD.

В треугольнике COD:

• Стороны: CD = a, CO = d1/2 = a, OD = d2/2
• Угол ∠OCD = ∠ACD = 1°

Так как CO = CD = a, то треугольник COD равнобедренный.

Углы при основании равны: ∠COD = ∠CDO.

Сумма углов в треугольнике COD: ∠OCD + ∠COD + ∠CDO = 180°

1° + 2 * ∠COD = 180°

2 * ∠COD = 179°

∠COD = 179° / 2 = 89.5°

Угол ∠AOD является смежным к ∠COD, поэтому:

• ∠AOD = 180° - ∠COD
• ∠AOD = 180° - 89.5°
• ∠AOD = 90.5°

Меньший угол между диагоналями — это 89.5°.

Ответ: 89.5