5. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 60 и ВС = 1. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Пусть точка касания на окружности будет T. Тогда отрезок BT — касательная к окружности.

По свойству касательной, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ATB = 90°.

В данном случае:

• Точка A — центр окружности.
• Окружность проходит через C, значит, радиус окружности R = AC = 60.
• Точка B находится вне окружности.
• Отрезок BT — касательная, проведенная из точки B к окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ATB:

• AT — радиус окружности, AT = R = AC = 60.
• AB — расстояние от центра окружности до точки B. AB = AC + CB = 60 + 1 = 61.
• BT — длина касательной, которую нужно найти.

По теореме Пифагора для треугольника ATB:

• AT² + BT² = AB²
• 60² + BT² = 61²
• 3600 + BT² = 3721
• BT² = 3721 - 3600
• BT² = 121
• BT = √121
• BT = 11

Ответ: 11