1. В треугольнике ABC AC = BC = 7, tgA = 33/(4*sqrt(33)). Найдите AB.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC = 7. Известно, что \( \text{tg} A = \frac{33}{4\sqrt{33}} \). Нам нужно найти длину стороны AB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \text{tg}^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \).

Подставим значение \( \text{tg} A \):

\( \left(\frac{33}{4\sqrt{33}}\right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \)

\( \frac{33^2}{16 \cdot 33} + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \)

\( \frac{33}{16} + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \)

\( \frac{33 + 16}{16} = \frac{1}{\cos^2 A} \)

\( \frac{49}{16} = \frac{1}{\cos^2 A} \)

\( \cos^2 A = \frac{16}{49} \)

\( \cos A = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7} \) (Так как A - угол треугольника, \( \cos A > 0 \)).

Теперь найдём \( \sin A \) из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \):

\( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{16}{49} = \frac{49 - 16}{49} = \frac{33}{49} \)

\( \sin A = \sqrt{\frac{33}{49}} = \frac{\sqrt{33}}{7} \) (Так как A - угол треугольника, \( \sin A > 0 \)).

Теперь воспользуемся теоремой синусов для нахождения стороны AB:

\( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \).

Так как \( \angle B = \angle A \), то \( \sin B = \sin A = \frac{\sqrt{33}}{7} \).

\( \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - 2\angle A \).

\( \sin C = \sin(180^{\circ} - 2\angle A) = \sin(2\angle A) = 2 \sin A \cos A \).

\( \sin C = 2 \cdot \frac{\sqrt{33}}{7} \cdot \frac{4}{7} = \frac{8\sqrt{33}}{49} \).

Теперь подставим значения в теорему синусов:

\( \frac{AB}{\frac{8\sqrt{33}}{49}} = \frac{7}{\frac{\sqrt{33}}{7}} \)

\( AB = \frac{7 \cdot \frac{8\sqrt{33}}{49}}{\frac{\sqrt{33}}{7}} = \frac{7 \cdot 8\sqrt{33}}{49} \cdot \frac{7}{\sqrt{33}} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 7}{49} = \frac{8 \cdot 49}{49} = 8 \).

Ответ: AB = 8.