7. Найдите наименьшее значение функции y = 9 cos(x) + 14x + 7 на отрезке [0; 3pi/2].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 9 \cos(x) + 14x + 7 \) на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \), нам нужно найти производную функции и критические точки.

1. Найдем производную функции \( y' \):

\( y' = \frac{d}{dx}(9 \cos(x) + 14x + 7) = -9 \sin(x) + 14 \).

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -9 \sin(x) + 14 = 0 \)

\( 9 \sin(x) = 14 \)

\( \sin(x) = \frac{14}{9} \).

Поскольку максимальное значение \( \sin(x) \) равно 1, а \( \frac{14}{9} > 1 \), то уравнение \( \sin(x) = \frac{14}{9} \) не имеет решений. Это означает, что на данном отрезке нет критических точек, где производная равна нулю.

3. Так как производная \( y' = 14 - 9 \sin(x) \), и \( \sin(x) \) на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \) принимает значения от 0 до 1 (включая 0 и 1), то \( 9\sin(x) \) принимает значения от 0 до 9. Следовательно, \( 14 - 9\sin(x) \) всегда будет положительным на данном отрезке.

\( y' > 0 \) на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \). Это означает, что функция \( y(x) \) возрастает на этом отрезке.

4. Поскольку функция возрастает, ее наименьшее значение будет достигаться в левой границе отрезка, то есть при \( x = 0 \).

5. Вычислим значение функции в точке \( x = 0 \):

\( y(0) = 9 \cos(0) + 14(0) + 7 \)

\( y(0) = 9 1 + 0 + 7 = 9 + 7 = 16 \).

Вычислим значение функции в правой границе отрезка \( x = \frac{3\pi}{2} \):

\( y(\frac{3\pi}{2}) = 9 \cos(\frac{3\pi}{2}) + 14(\frac{3\pi}{2}) + 7 \)

\( y(\frac{3\pi}{2}) = 9 0 + 14 \u0005 \frac{3\pi}{2} + 7 \)

\( y(\frac{3\pi}{2}) = 0 + 7 \u0005 3\pi + 7 = 21\pi + 7 \).

Сравним значения: \( 16 \) и \( 21\pi + 7 \). Так как \( \pi 3.14 \), то \( 21\pi + 7 \) значительно больше \( 16 \).

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке достигается при \( x=0 \).

Ответ: 16.