6. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость течения реки \( u = 1 \) км/ч.

Расстояние до пункта назначения \( S = 255 \) км.

Время стоянки \( t_{стоянки} = 2 \) часа.

Общее время в пути \( T_{общ} = 34 \) часа.

Время движения теплохода \( T_{движ} = T_{общ} - t_{стоянки} = 34 - 2 = 32 \) часа.

Скорость теплохода по течению: \( v_{по} = v + u = v + 1 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = v - u = v - 1 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{255}{v+1} \) часа.

Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{255}{v-1} \) часа.

Общее время движения равно сумме времени движения по течению и против течения:

\( t_{по} + t_{против} = T_{движ} \)

\( \frac{255}{v+1} + \frac{255}{v-1} = 32 \)

Разделим обе части уравнения на 255:

\( \frac{1}{v+1} + \frac{1}{v-1} = \frac{32}{255} \)

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\( \frac{(v-1) + (v+1)}{(v+1)(v-1)} = \frac{32}{255} \)

\( \frac{2v}{v^2-1} = \frac{32}{255} \)

Выполним перекрёстное умножение:

\( 2v 255 = 32(v^2 - 1) \)

\( 510v = 32v^2 - 32 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 32v^2 - 510v - 32 = 0 \)

Разделим обе части уравнения на 2:

\( 16v^2 - 255v - 16 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-255)^2 - 4(16)(-16) = 65025 + 1024 = 66049 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{66049} = 257 \).

Теперь найдём корни уравнения:

\( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{255 + 257}{2 16} = \frac{512}{32} = 16 \)

\( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{255 - 257}{2 16} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16} \).

Так как скорость теплохода не может быть отрицательной, мы отвергаем второй корень.

Скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч.

Проверим условия: \( v > u \), то есть \( 16 > 1 \), что верно.

Ответ: 16.