8. Построить тело, получающееся при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной заданными линиями, и вычислить его объем: y=2-1/2*x^2, y=0, x=0

Решение:

Нам нужно построить тело вращения и найти его объем. Тело получается при вращении фигуры, ограниченной линиями \( y = 2 - \frac{1}{2}x^2 \), \( y = 0 \) (ось Ox) и \( x = 0 \) (ось Oy) вокруг оси Ox.

1. Найдем точки пересечения кривой \( y = 2 - \frac{1}{2}x^2 \) с осью Ox (где \( y=0 \)):

\( 2 - \frac{1}{2}x^2 = 0 \)

\( \frac{1}{2}x^2 = 2 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \).

2. Учтем ограничения: \( x = 0 \) и \( y = 0 \).

Фигура, которую мы вращаем, ограничена параболой \( y = 2 - \frac{1}{2}x^2 \), осью Ox (\( y=0 \)) и осью Oy (\( x=0 \)).

Нас интересует область, где \( x ≥ 0 \) (из-за \( x=0 \)) и \( y ≥ 0 \) (из-за \( y=0 \)).

Из найденных точек пересечения \( x = \pm 2 \) и условия \( x ≥ 0 \), мы берем \( x=2 \).

Таким образом, фигура ограничена кривой \( y = 2 - \frac{1}{2}x^2 \) и осью Ox на отрезке \( [0, 2] \).

3. Построим тело вращения.

При вращении этой фигуры вокруг оси Ox получается тело, похожее на сплюснутый шар или параболоид.

4. Вычислим объем тела вращения по формуле:

\( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \)

В нашем случае \( f(x) = 2 - \frac{1}{2}x^2 \), \( a = 0 \), \( b = 2 \).

\( V = \pi \int_{0}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right)^2 dx \)

Раскроем квадрат:

\( V = \pi \int_{0}^{2} \left(4 - 2 2 \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4\right) dx \)

\( V = \pi \int_{0}^{2} \left(4 - 2x^2 + \frac{1}{4}x^4\right) dx \)

Теперь проинтегрируем:

\( V = \pi \left[ 4x - \frac{2x^3}{3} + \frac{1}{4} \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} \)

\( V = \pi \left[ 4x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{20} \right]_{0}^{2} \)

Подставим верхний предел интегрирования (x=2):

\( 4(2) - \frac{2(2)^3}{3} + \frac{(2)^5}{20} = 8 - \frac{2(8)}{3} + \frac{32}{20} = 8 - \frac{16}{3} + \frac{8}{5} \)

Приведём к общему знаменателю (30):

\( \frac{8 30}{30} - \frac{16 10}{30} + \frac{8 6}{30} = \frac{240 - 160 + 48}{30} = \frac{80 + 48}{30} = \frac{128}{30} = \frac{64}{15} \).

Подставим нижний предел интегрирования (x=0):

\( 4(0) - \frac{2(0)^3}{3} + \frac{(0)^5}{20} = 0 \).

Таким образом, объем равен:

\( V = \pi \left( \frac{64}{15} - 0 \right) = \frac{64\pi}{15} \).

Ответ: Объем тела вращения равен \(\frac{64\pi}{15}\).