1. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = AC / 2 = 108. Тогда MH = AH − AM = (216 − 54) − 108 = 54 = HC.

BH ⟂ AC, поэтому треугольники BMH и BCH прямоугольные. У них равны катеты MH = HC и BH — общий, значит, углы BMH и BCH равны. Следовательно, ∠BMH = ∠ACB = 40°.

Точки A, M, H лежат на одной прямой, причём лучи MA и MH противоположны. Поэтому ∠AMB = 180° − ∠BMH = 180° − 40° = 140°.

Ответ: 140°.