1 В треугольнике АВС угол С равен 90°, AB=4, sin A = √19/10. Найдите длину стороны АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

• Синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

  \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

• Из условия задачи нам известно, что

  \[ \sin A = \frac{\sqrt{19}}{10} \]

  и

  \[ AB = 4 \]

• Подставим известные значения в формулу синуса:

  \[ \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{BC}{4} \]

• Выразим длину катета BC:

  \[ BC = 4 \cdot \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{2\sqrt{19}}{5} \]

• Теперь используем теорему Пифагора для нахождения катета AC:

  \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

• Подставим значения:

  \[ AC^2 + \left( \frac{2\sqrt{19}}{5} \right)^2 = 4^2 \]

• Вычислим квадрат BC:

  \[ \left( \frac{2\sqrt{19}}{5} \right)^2 = \frac{4 \cdot 19}{25} = \frac{76}{25} \]

• Теперь вычислим квадрат AB:

  \[ 4^2 = 16 \]

• Подставим обратно в теорему Пифагора:

  \[ AC^2 + \frac{76}{25} = 16 \]

• Выразим AC^2:

  \[ AC^2 = 16 - \frac{76}{25} = \frac{16 \cdot 25 - 76}{25} = \frac{400 - 76}{25} = \frac{324}{25} \]

• Найдем AC, извлекая квадратный корень:

  \[ AC = \sqrt{\frac{324}{25}} = \frac{\sqrt{324}}{\sqrt{25}} = \frac{18}{5} \]

Ответ: 18/5