1. В треугольнике радиус описанной окружности равен 20, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Треугольник прямоугольный, так как на рисунке указан прямой угол. Если один острый угол равен 45°, то оба катета равны.

Гипотенуза равна диаметру описанной окружности: \(c=2R=40\).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет \(a=\dfrac{c}{\sqrt2}=20\sqrt2\).

Площадь: \(S=\dfrac12a^2=\dfrac12(20\sqrt2)^2=400\).

Ответ: 400.