1. Векторы $\vec a$ и $\vec b$ образуют угол $\varphi=\frac{2\pi}{3}$. Зная, что $|\vec a|=1$, $|\vec b|=2$, вычислить $((2\vec a+\vec b)\times(\vec a+2\vec b))^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Векторы $\vec a$ и $\vec b$ образуют угол $\varphi=\frac{2\pi}{3}$. Зная, что $|\vec a|=1$, $|\vec b|=2$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем билинейность векторного произведения и равенства $\vec a\times\vec a=\vec b\times\vec b=0$, $\vec b\times\vec a=-\vec a\times\vec b$:

$(2\vec a+\vec b)\times(\vec a+2\vec b)=4(\vec a\times\vec b)-\vec a\times\vec b=3(\vec a\times\vec b)$.

Поэтому квадрат длины этого векторного произведения равен $9|\vec a|^2|\vec b|^2\sin^2\varphi=9\cdot1^2\cdot2^2\cdot\sin^2(2\pi/3)=27$.

Ответ: 27.

1. Векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) образуют угол \(\varphi=\frac{2\pi}{3}\). Зная, что \(|\vec a|=1\), \(|\vec b|=2\), вычислить \(((2\vec a+\vec b)\times(\vec a+2\vec b))^2\).