7. Найти общее решение системы: \(\begin{cases}x_1+2x_2+2x_3+3x_4=1,\\6x_1-3x_2-3x_3-x_4=-9,\\-7x_1+x_2+x_3-2x_4=8,\\-3x_1+9x_2+9x_3+10x_4=12.\end{cases}\)

Во всех уравнениях коэффициенты при \(x_2\) и \(x_3\) совпадают, поэтому введём сумму \(s=x_2+x_3\). Система сводится к уравнениям для \(x_1,s,x_4\).

Из первого уравнения \(x_1=1-2s-3x_4\). Подстановка этого выражения во второе даёт \(15s+19x_4=15\). Подстановка в третье и четвёртое приводит к тому же равенству, поэтому других независимых условий нет.

Положим \(x_4=15t\). Тогда \(s=1-19t\), а из первого уравнения \(x_1=-1-7t\). Сумма \(x_2+x_3=1-19t\), поэтому можно взять \(x_2=u\), \(x_3=1-19t-u\).

Ответ: \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(-1-7t,\ u,\ 1-19t-u,\ 15t)\), где \(t,u\in\mathbb R\).