3. Даны точки: A(−1, 0, 3), B(0, 0, −2), C(4, 3, 2), D(0, 1, −2). а) Лежат ли они в одной плоскости? б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AC. в) Найти площадь треугольника ABC, высоту h_B этого треугольника, проведённую из вершины B, и внешний угол при вершине A.

Найдём векторы: \(\overrightarrow{AB}=(1,0,-5)\), \(\overrightarrow{AC}=(5,3,-1)\), \(\overrightarrow{AD}=(1,1,-5)\).

а) Четыре точки компланарны, если смешанное произведение векторов \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) равно нулю. Имеем \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(15,-24,3)\), а \((15,-24,3)\cdot(1,1,-5)=15-24-15=-24\ne0\). Значит, точки не лежат в одной плоскости.

б) Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения: \(S_{п}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{15^2+(-24)^2+3^2}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}\).

в) Площадь треугольника вдвое меньше площади параллелограмма: \(S_{ABC}=\frac{9\sqrt{10}}2\). Длина основания \(AC=\sqrt{5^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{35}\), поэтому \(h_B=\frac{2S_{ABC}}{|AC|}=\frac{9\sqrt{10}}{\sqrt{35}}=\frac{9\sqrt{14}}7\).

Для угла A: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10\), \(|AB|=\sqrt{26}\), \(|AC|=\sqrt{35}\), поэтому внутренний угол равен \(\arccos\frac{10}{\sqrt{910}}\). Внешний угол смежен с ним и равен \(\pi-\arccos\frac{10}{\sqrt{910}}=\arccos\left(-\frac{10}{\sqrt{910}}\right)\), приблизительно \(109.4^\circ\).

Ответ: а) точки некомпланарны; б) \(9\sqrt{10}\); в) \(S_{ABC}=\frac{9\sqrt{10}}2\), \(h_B=\frac{9\sqrt{14}}7\), внешний угол при A равен \(\arccos(-10/\sqrt{910})\approx109.4^\circ\).