5. Даны два вектора $\vec a$ и $\vec b$, имеющие следующие проекции на координатные оси: $a_x=-1$, $a_y=6$, $a_z=2$; $b_x=4$, $b_y=3$, $b_z=-6$. Найти скалярное произведение векторов $\vec a$ и $\vec b$, угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$ и проекцию вектора $\vec a$ на вектор $\vec b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Даны два вектора $\vec a$ и $\vec b$, имеющие следующие проекции на координатные оси: $a_x=-1$, $a_y=6$,…$ Фото задания

5. Даны два вектора $\vec a$ и $\vec b$, имеющие следующие проекции на координатные оси: $a_x=-1$, $a_y=6$, $a_z=2$; $b_x=4$, $b_y=3$, $b_z=-6$. Найти скалярное произведение векторов $\vec a$ и $\vec b$, угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$ и проекцию вектора $\vec a$ на вектор $\vec b$.

Accepted Answer

Запишем векторы по координатам: $\vec a=(-1,6,2)$, $\vec b=(4,3,-6)$.

Скалярное произведение: $\vec a\cdot\vec b=(-1)\cdot4+6\cdot3+2\cdot(-6)=2$.

Длины векторов: $|\vec a|=\sqrt{41}$, $|\vec b|=\sqrt{61}$. Тогда $\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=\frac{2}{\sqrt{2501}}$, то есть $\varphi=\arccos\frac{2}{\sqrt{2501}}$.

Векторная проекция $\vec a$ на $\vec b$: $\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\vec b=\frac{2}{61}(4,3,-6)=(\frac8{61},\frac6{61},-\frac{12}{61})$. Её скалярная величина равна $\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}=\frac2{\sqrt{61}}$.

Ответ: $\vec a\cdot\vec b=2$; $\varphi=\arccos(2/\sqrt{2501})$; $\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a=(8/61,6/61,-12/61)$ (скалярная проекция $2/\sqrt{61}$).