1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

Пусть x - скорость велосипедиста из А в В (км/ч). Тогда x+5 - его скорость из В в А (км/ч). Время в пути из А в В равно \(\frac{180}{x}\) (часов), а время в пути из В в А равно \(\frac{180}{x+5}\) (часов). Учитывая 3 часа остановки, время в пути из В в А составит \(\frac{180}{x+5} + 3\) . По условию, эти времена равны, то есть \(\frac{180}{x} = \frac{180}{x+5} + 3\). Решим уравнение: \(\frac{180}{x} - \frac{180}{x+5} = 3\) \(\frac{180(x+5) - 180x}{x(x+5)} = 3\) \(\frac{180x + 900 - 180x}{x^2 + 5x} = 3\) \(\frac{900}{x^2 + 5x} = 3\) \(900 = 3x^2 + 15x\) \(3x^2 + 15x - 900 = 0\) \(x^2 + 5x - 300 = 0\) Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = \(5^2 - 4*1*(-300) = 25 + 1200 = 1225\). Тогда \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 + 35}{2} = 15\) и \(x_2 = \frac{-5 - 35}{2} = -20\). Скорость не может быть отрицательной, следовательно, \(x = 15\) км/ч - скорость из А в В. Скорость из В в А равна \(x+5 = 15+5 = 20\) км/ч. Ответ: 20 км/ч.