1) Высота FH треугольной пирамиды FABC падает на середину стороны AB. Треугольник ABC - правильный со стороной 6, FC = √30. Найти объём пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь правильного треугольника ABC. Площадь правильного треугольника со стороной a вычисляется по формуле \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). В нашем случае a=6, поэтому \(S_{ABC} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\). Теперь найдем высоту пирамиды FH. Поскольку H — это середина AB, то AH = AB/2 = 6/2 = 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник FHC. По теореме Пифагора \(FH^2 + HC^2 = FC^2\). Чтобы найти HC, нужно знать, что в правильном треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают. Высота, проведенная к стороне a, равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Значит, \(HC = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\). Теперь подставим значения в уравнение для теоремы Пифагора: \(FH^2 + (3\sqrt{3})^2 = (\sqrt{30})^2\), \(FH^2 + 27 = 30\), \(FH^2 = 30 - 27\), \(FH^2 = 3\), \(FH = \sqrt{3}\). Теперь найдем объем пирамиды. Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{основания} h\). Подставляем значения: \(V = \frac{1}{3} * 9\sqrt{3} * \sqrt{3} = \frac{1}{3} * 9 * 3 = 9\). Ответ: Объем пирамиды равен 9.