4) MABCD - пирамида, ABCD - ромб, MH - высота, AC ∩ BD = H, ∠AMH = ∠MBH, AC=24, BD=6. Найдите объём пирамиды.

Так как ABCD - ромб, то диагонали AC и BD перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, AH = AC/2 = 24/2 = 12 и BH = BD/2 = 6/2 = 3. Площадь ромба ABCD равна \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 72\). Из условия ∠AMH = ∠MBH, это значит что треугольники AMH и MBH подобны, так как ∠AHM = ∠BHM = 90°. Следовательно, \(\frac{MH}{AH} = \frac{BH}{MH}\). Отсюда MH^2 = AH * BH = 12 * 3 = 36, значит, MH = \(\sqrt{36}\) = 6. Теперь находим объем пирамиды по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{ABCD} * MH = \frac{1}{3} * 72 * 6 = 144\). Ответ: Объем пирамиды равен 144.