3) В основании пирамиды MABCD лежит равнобедренная трапеция, AD и BC - основания, AC ∩ BD = O, MO - высота пирамиды, AC ⊥ BD, tg∠MAC = 3, BO=3, AO=2. Найдите объём пирамиды.

Так как AC ⊥ BD, то площадь трапеции ABCD равна \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \). Из условия известно, что AC ∩ BD = O, AO=2 и BO=3. Так как AC ⊥ BD, то площадь трапеции ABCD можно найти по формуле \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD\). Нам нужно найти длины AC и BD. По условию, AO=2 и BO=3. Из условия AC ⊥ BD не следует, что точка O делит AC и BD пополам. У нас есть tg∠MAC=3, значит \(\frac{MO}{AO} = 3\). Так как AO = 2, MO = 3*2 = 6. Теперь, чтобы найти AC, нужно знать длину OC, а чтобы найти BD — длину OD. Зная, что диагонали трапеции перпендикулярны, и то, что трапеция равнобедренная, длины диагоналей равны. Из условия, tg∠MAC=3, следовательно \(\frac{MO}{AO} = 3\), значит MO = 6. В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому AC = BD. Найдем длину диагонали BD, она состоит из BO=3 и OD. Так как диагонали перпендикулярны, то треугольники AOB, BOC, COD и DOA являются прямоугольными. Пусть ∠MAC = α. Тогда tg α=3. Значит, если ∠MAC = α , то \(tg α = \frac{MO}{AO}=3 \). Следовательно, MO=3*AO=3*2=6. Треугольник MOB прямоугольный и \(tg \angle MBO = \frac{MO}{BO} = \frac{6}{3} = 2 \). Так как AC ⊥ BD, то трапеция — ромб. Пусть диагонали в точке О. \(AO=2, BO=3\). Так как AC ⊥ BD, площадь ABCD = \(\frac{1}{2}AC \cdot BD\). Так как трапеция ABCD равнобедренная, то AC = BD. Площадь ABCD = \(\frac{1}{2} \cdot (AO+OC)(BO+OD)\). Пусть AO = 2, BO=3, тогда AC = AO+OC, а BD= BO + OD. В равнобедренной трапеции AC=BD. В нашем случае, мы знаем, что AC ⊥ BD, площадь трапеции можно вычислить по формуле \( S = \frac{1}{2} (AC \cdot BD) = \frac{1}{2} (2x\cdot 3x) = 3x^2\) . Мы знаем что AO=2, BO=3, тогда AC = AO+OC, BD=BO+OD. Так как трапеция равнобедренная и диагонали перпендикулярны, то \(AC=BD \). Поскольку у нас AO=2, BO=3, то \(AC = 2+2=4\) и \(BD = 3+3=6\). Тогда площадь трапеции равна \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\) . Высота пирамиды MO=6. Тогда объем пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot MO = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 6 = 24 \). Ответ: Объем пирамиды равен 24.