6) Длины сторон оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 10 и 14. Диагональ пирамиды равна 18. Найдите объём пирамиды.

Пусть основания усеченной пирамиды - квадраты со сторонами a = 10 и b = 14. Диагональ усеченной пирамиды d=18. Пусть высота усеченной пирамиды - h. Диагональ основания a = 10 равна 10\(\sqrt{2}\), а диагональ основания b = 14 равна 14\(\sqrt{2}\). В усеченной пирамиде диагональ — это отрезок, соединяющий вершину верхнего основания с вершиной нижнего основания, не лежащие на одной грани. Проекция диагонали на основание равна половине разности диагоналей оснований. Проекция диагонали на основание равна \(\frac{14\sqrt{2} - 10\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\). Составим уравнение по теореме Пифагора \(h^2 + (2\sqrt{2})^2 = 18^2\), \(h^2 = 324 - 8\), \(h^2 = 316\), \(h=\sqrt{316}\), \(h = 2\sqrt{79}\). Площадь нижнего основания \(S_{ниж} = 14^2 = 196\), площадь верхнего основания \(S_{верх} = 10^2 = 100\). Объем усеченной пирамиды равен \(V = \frac{1}{3}h(S_{ниж} + S_{верх} + \sqrt{S_{ниж}S_{верх}})\). Подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} * 2\sqrt{79} (196 + 100 + \sqrt{196 * 100}) = \frac{2\sqrt{79}}{3} (296 + 140) = \frac{2\sqrt{79}}{3}* 436 = \frac{872\sqrt{79}}{3}\). Ответ: Объем усеченной пирамиды равен \(\frac{872\sqrt{79}}{3}\).