10. (1 балл) Решите уравнение \( lg(x^2-3x-3) = 4 lg 2 - lg 16 \).

Решение:

Сначала упростим правую часть уравнения, используя свойства логарифмов \( n · \log_a b = \log_a b^n \) и \( \log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} \):

\( 4 lg 2 - lg 16 = lg 2^4 - lg 16 = lg 16 - lg 16 = 0 \)

Теперь уравнение имеет вид:

\( lg(x^2-3x-3) = 0 \)

По определению десятичного логарифма:

\( x^2-3x-3 = 10^0 \)

\( x^2-3x-3 = 1 \)

\( x^2-3x-4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)

Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:

\( x^2-3x-3 > 0 \)

Для \( x = 4 \): \( 4^2 - 3 \cdot 4 - 3 = 16 - 12 - 3 = 1 > 0 \) (Подходит).

Для \( x = -1 \): \( (-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 3 = 1 + 3 - 3 = 1 > 0 \) (Подходит).

Ответ: \( x = 4, x = -1 \).