11. (1 балл) Решите неравенство методом интервалов \( \frac{4x-9x^2}{10-x} \ge 0 \).

Решение:

Найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( 4x - 9x^2 = 0 \) \( x(4-9x) = 0 \) \( x_1 = 0 \) или \( 4-9x = 0 \) \( 9x = 4 \) \( x_2 = \frac{4}{9} \).

Знаменатель: \( 10-x = 0 \) \( x_3 = 10 \).

Отметим эти точки на числовой прямой: 0, \( \frac{4}{9} \), 10. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка 10 — выколотая.

Разделим числовую прямую на интервалы и определим знак выражения \( \frac{4x-9x^2}{10-x} \) на каждом интервале.

Выражение можно записать как \( \frac{-9x^2+4x}{10-x} \).

• Интервал \( (-\infty, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( \frac{4(-1)-9(-1)^2}{10-(-1)} = \frac{-4-9}{11} = \frac{-13}{11} < 0 \).
• Интервал \( (0, \frac{4}{9}) \): Возьмем \( x = 0.1 \). \( \frac{4(0.1)-9(0.1)^2}{10-0.1} = \frac{0.4-0.09}{9.9} = \frac{0.31}{9.9} > 0 \).
• Интервал \( (\frac{4}{9}, 10) \): Возьмем \( x = 1 \). \( \frac{4(1)-9(1)^2}{10-1} = \frac{4-9}{9} = \frac{-5}{9} < 0 \).
• Интервал \( (10, \infty) \): Возьмем \( x = 11 \). \( \frac{4(11)-9(11)^2}{10-11} = \frac{44-9(121)}{-1} = \frac{44-1089}{-1} = \frac{-1045}{-1} = 1045 > 0 \).

Нам нужно \( \ge 0 \), поэтому подходят интервалы \( (0, \frac{4}{9}) \) и \( (10, \infty) \).

Так как неравенство нестрогое, включаем 0 и \( \frac{4}{9} \).

Ответ: \( [0; \frac{4}{9}] \cup (10; \infty) \).