8. (1 балл) Решите уравнение \( 2\sqrt{5+x} = x+2 \).

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( (2\sqrt{5+x})^2 = (x+2)^2 \)

\( 4(5+x) = x^2 + 4x + 4 \)

\( 20 + 4x = x^2 + 4x + 4 \)

\( x^2 = 20 - 4 \)

\( x^2 = 16 \)

\( x = \pm 4 \)

Теперь проверим полученные корни в исходном уравнении.

При \( x = 4 \):

\( 2\sqrt{5+4} = 4+2 \)

\( 2\sqrt{9} = 6 \)

\( 2 \cdot 3 = 6 \)

\( 6 = 6 \) (Верно)

При \( x = -4 \):

\( 2\sqrt{5+(-4)} = -4+2 \)

\( 2\sqrt{1} = -2 \)

\( 2 \cdot 1 = -2 \)

\( 2 = -2 \) (Неверно)

Также нужно учесть, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( 5+x ≥ 0 \), т.е. \( x ≥ -5 \).

И правая часть уравнения не должна быть отрицательной: \( x+2 ≥ 0 \), т.е. \( x ≥ -2 \).

Таким образом, \( x = 4 \) является единственным решением.

Ответ: 4.